NN Mathematik Uwe Hennig

Grundlagen Mathematik

Mathematisher Aufbau

Ein Neuron hat ein zeitabhängiges Potential P_t.

Das Potential wird durch die jeweiligen Eingangskanäle (Synapsen) im Laufe der Zeit erhöht. Hat das Potential einen gewissen Schwellwert Θ überschritten, feuert das Neuron den Wert $X = S_{Θ} (P_{t}) \cdot P_{t}$ . Dieser Wert wird dann an die nachfolgenden, verbundenen Neuronen anteilsmäßig verteilt.

S_Θ ist eine übliche Schwellwertfunktion, die i.d.R. Werte im Bereich [0, 1] hat. Siehe dazu einige Beispiele: Functions.

Das Ergebnis der Schwellwertfunktion liegt zwar i.d.R. im Bereich zwischen 0 und 1, wird aber mit dem aktuellen Eingangspotentials multipliziert und hat damit einen Wert zwischen 0 und P_t. Dieser Wert X wird dann anteilsmäßig verteilt.

Das neue Potential P_t+1 muss, nachdem das Neuron gefeuert hat, neu berechnet werden: $P_{t+1} = P_{t} - X$ . Zu beachten ist, dass ein Restwert größer 0 entstehen kann. Es gilt also P_t+1 ≥ 0. Mit dieser Potentialberechnung werden letztendlich auch die Eingangskanäle (Neuronen mit den Eingangsreizen) neu berechnet, da diese in einem rekurrenten Netz integriert sind und keine Sonderrolle einnehmen. Aus diesem Grund müssen für einen gewissen Zeitraum die Eingangsneuronen wieder auf die ursprünglichen Werte gesetzt werden, sprich angeregt werden.

Der zu übertragene Wert X wird gewichtet W_i an das nachfolgende Neuronen K_i übermittelt. Das Ausgangsneuron K_i bekommt den Wert $Y_{i} = X \cdot W_{i} / (\sum_{i = 0}^{n}, W_{i})$ übermittelt. Hierbei ist W_i das Ausgangsgewicht vom aktuellen Neuron zum Neuron K_i. Der Quotient $W_{i} / \sum_{j = 0}^{n} W_{j}$ liegt im Bereicht zwischen 0 und 1 (prozentualer Wert).

Beispielberechnung

Bild 1: Einfaches Netz

Das Anfrangspotential des Neurons K₀ sei: $P_{0} = 0$ zum Zeitpunkt t=0. Es wird nicht gefeuert.
Zum Zeitpunkt t=1 ist das Potential des Neuron K₀: P₁=4. Es gab ein Reizsignal zum Zeitpunkt t=1 und damit hat sich das Potential geändert.

Die Gewichte seien: W₁ = 2 und W₂ = 6. Der Schwellwert Θ sei 0,5.

Mit der Sprungfunktion $S_{0,5} (x) = {\begin{matrix} 1 & wenn & x \geq 0,5 \\ 0 & sonst \end{matrix}$
feuert nun das Neuron, weil das Potential P₁ größer ist als 0,5

Die Werte werden wie folgt berechnet:

$\sum_{i = 0}^{n} W_{i} = 8$

$X = S_{0,5} (4,0) \cdot 4,0 = 4,0$

Y₁ = 2·4/8 = 1
Y₂ = 6·4/8 = 3

Das neue Potential des Neurons K₀ ist dann:
P₂ = 4 - 4 = 0

Damit wurde der Wert 4 (Reizsignal) an die nachfolgenden Neuronen verteilt übermittelt. Das Potential des Neurons K₁ wurde um Y₁ = 1 und das Potential des Neurons K₂ um den Wert Y₂ = 3 erhöht.

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